Question

【題目】設(shè)復(fù)平面上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù) （為虛數(shù)單位）滿足，點(diǎn)的軌跡方程為曲線. 雙曲線:與曲線有共同焦點(diǎn)，傾斜角為的直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)是、，，為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）求直線的方程；

（3）設(shè)△PQR三個(gè)頂點(diǎn)在曲線上，求證：當(dāng)是△PQR重心時(shí)，△PQR的面積是定值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）【方法一】根據(jù)橢圓的定義可知，結(jié)合，即可求得點(diǎn)的軌跡方程；【方法二】根據(jù)復(fù)數(shù)的性質(zhì)，化簡(jiǎn)即可得點(diǎn)的軌跡方程；（2）【方法一】根據(jù)雙曲線:與曲線有共同焦點(diǎn)，求得雙曲線的方程，進(jìn)而可得雙曲線的漸近線方程，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立漸近線方程與直線的方程，求得，的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求得直線的方程；【方法二】聯(lián)立直線的方程與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，再根據(jù)，即可求得直線的方程；（3）【方法一】設(shè)，，由是△PQR重心可得，根據(jù)，即可求得定值；【方法二】設(shè)、、，則有：，推出，代入到橢圓方程，結(jié)合，即可求得定值.

試題解析：（1）【方法一】由題意知，點(diǎn)的軌跡為橢圓.

∵

∴

∴點(diǎn)的軌跡方程為.

【方法二】由題意知，,整理得.

∴點(diǎn)的軌跡方程為

（2）【方法一】∵與有共同焦點(diǎn)

∴，即

∴雙曲線的方程為

∴雙曲線的漸近線方程

設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立方程，得.

，，即直線的方程為.

【方法二】∵與有共同焦點(diǎn)

∴，即.

∴雙曲線的方程為

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程得到.

∴

∴，即直線的方程為.

（3）【方法一】設(shè),.

∵為的重心

（.

不妨設(shè),則.

【方法二】設(shè)、、，則有：，代入橢圓方程得：.

所以 .