已知?jiǎng)又本�與橢圓：交于兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：和均為定值；

（Ⅱ）設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值；

（Ⅲ）橢圓上是否存在三點(diǎn)，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

 

 

【答案】

 解析：（Ⅰ）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則，

由在橢圓上，則，而，則

于是，.

當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線為，代入可得

，即，，即

，

則，滿足

，

，

綜上可知，.

（Ⅱ））當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（Ⅰ）知

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（Ⅰ）知，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，綜上可知的最大值為。

（Ⅲ）假設(shè)橢圓上存在三點(diǎn)，使得，

由（Ⅰ）知，

.

解得,，

因此只能從中選取，只能從中選取，

因此只能從中選取三個(gè)不同點(diǎn)，而這三點(diǎn)的兩兩連線必有一個(gè)過(guò)原點(diǎn)，這與相矛盾，

故橢圓上不存在三點(diǎn)，使得。

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知?jiǎng)又本�與橢圓C: 交于P、Q兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）證明和均為定值;

（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；

（Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年甘肅省河西五市高三第二次（5月）聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0，2)，與x軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N  (點(diǎn)M在點(diǎn)N的右側(cè)），且。橢圓D：的焦距等于，且過(guò)點(diǎn)

( I ) 求圓C和橢圓D的方程；

(Ⅱ) 若過(guò)點(diǎn)M的動(dòng)直線與橢圓D交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)N在以弦AB為直徑的圓的外部，求直線斜率的范圍。

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（本小題滿分14分）

已知?jiǎng)又本�與橢圓C: 交于P、Q兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）證明和均為定值;

（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；

（Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)連線的斜率之積等于常數(shù)（的點(diǎn)的軌跡，連同兩點(diǎn)所成的曲線為C．

（Ⅰ）求曲線C的方程，并討論C的形狀；

（II）設(shè),，對(duì)應(yīng)的曲線是，已知?jiǎng)又本�與橢圓交于、兩不同點(diǎn)，且,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，探究 是否為定值，寫出解答過(guò)程。

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