Question

4．定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），當x∈[0，2]時，f（x）=-4x²+8x．若在區(qū)間[a，b]上，存在m（m≥3）個不同整數x_i（i=1，2，…，m），滿足$\sum_{i=1}^{m-1}$|f（x_i）-f（x_i+1）|≥72，則b-a的最小值為（　�。�

• A． 15
• B． 16
• C． 17
• D． 18

Answer 1

分析 根據已知可得函數周期為8，且函數的圖形關于x=2對稱，從而畫出函數圖象，結合圖象，要使b-a取最小值，則不同整數x_i為極值點即可．

解答 解：定義在R上的奇函數f（x）滿足f（x+2）=f（2-x），得f（x+2+2）=f（2-x-2）=f（-x）=-f（x），即f（x+4）=-f（x），
則f（x+4）=-f（x+4）=-[-f（x）]=f（x）．∴f（x）的周期為8．函數f（x）的圖形如下：

比如，當不同整數x_i分別為-1，1，2，5，7…時，b-a取最小值，∵f（-1）=-4，f（1）=4，f（2）=0，
至少需要2個+$\frac{1}{4}$個周期，則b-a的最小值為18，
故選：D

點評 本題考查了奇函數的性質，數形結合是解題的關鍵，屬于中檔題．