Question

15．求頂點在坐標原點，焦點在x軸的正半軸上，且截直線2x-y+1=0所得的弦長為$2\sqrt{10}$的拋物線的方程．

Answer 1

分析 設出拋物線的方程，直線與拋物線方程聯(lián)立消去y，進而根據(jù)韋達定理求得x₁+x₂，x₁•x₂的值，利用弦長公式求得|AB|，由AB=2$\sqrt{10}$可求p，則拋物線方程可得．

解答 解：設直線與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
設拋物線的方程為y²=2px，與直線y=2x+1聯(lián)立，消去y得4x²-（2p-4）x+1=0，則x₁+x₂=$\frac{p-2}{2}$，x₁•x₂=$\frac{1}{4}$．
|AB|=$\sqrt{5}$|x₁-x₂|=$\sqrt{5}•\sqrt{（\frac{p-2}{2}）^{2}-1}=2\sqrt{10}$，
化簡可得p²-4p-32=0，
∴p=-4，或8
∴拋物線方程為y²=-8x，或y²=16x．

點評 本題主要考查了拋物線的標準方程．解題的關鍵是對拋物線基本性質和標準方程的熟練應用．