Question

已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M（2，1），平行于OM的直線l在y軸上的截距為m（m≠0），l交橢圓于A、B兩個不同點．
（1）求橢圓的方程；
（2）求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意可得：

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，解得即可．
（2）設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可．設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）直線l：y=

1

2

x+m，與橢圓方程聯(lián)立可得x²+2mx+2m²-4=0，
利用斜率計算公式與跟與系數(shù)的關(guān)系可得：k1+k2=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

，計算其分子=0即可．

解答： （1）解：設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意可得：

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

，解得a²=8，b²=2．
∴橢圓方程為 

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）證明：設(shè)直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）直線l：y=

1

2

x+m，
則k1=

y1-1

x1-1

，k2=

y2-1

x2-1

．
聯(lián)立方程

y= 1 2 x+m x2+4y2=8

，得x²+2mx+2m²-4=0，
∴x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4．
而k1+k2=

y1-1

x1-1

+

y2-1

x2-1

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

，
其分子=(

1

2

x1+m-1)(x2-2)+(

1

2

x2+m-1)(x1-2)
=x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-4（m-1）=2m²-4-2m（m-2）-4m+4=0，
∴k₁+k₂=0．
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得該協(xié)議書的關(guān)系、斜率計算公式、等腰三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．