Question

3．設(shè)集合S={1，2，3，…，n}（n≥5，n∈N^*），集合A={a₁，a₂，a₃}滿足a₁＜a₂＜a₃且a₃-a₂≤2，A⊆S
（1）若n=6，求滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)；
（2）對(duì)任意的滿足條件的n及A，求集合A的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）n=6時(shí)，可得出S={1，2，3，4，5，6}，根據(jù)條件，可分別求出a₃-a₂=2，a₃-a₂=1時(shí)，集合A的個(gè)數(shù)，再求和即可；
（2）方法和過(guò)程同（1）．

解答 解：（1）n=6時(shí)，S={1，2，3，4，5，6}；
∵a₃-a₂≤2；
∴a₃-a₂=2，或a₃-a₂=1；
當(dāng)a₃-a₂=2時(shí)，a₂和a₃可分別為2和4，3和5，4和6；
此時(shí)對(duì)應(yīng)的a₁分別有1個(gè)，2個(gè)和3個(gè)；
當(dāng)a₃-a₂=1時(shí)，a₂和a₃可分別取2和3，3和4，4和5，5和6；
對(duì)應(yīng)的a₁分別有1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)和4個(gè)；
∴集合A的個(gè)數(shù)=1+2+3+1+2+3+4=16個(gè)；
（2）當(dāng)n≥5時(shí)，
若a₃-a₂=2，則a₂和a₃可分別為2和4，3和5，…，n-2和n；
此時(shí)，對(duì)應(yīng)的a₁可分別為1個(gè)，2個(gè)，…，n-3個(gè)，共有$\frac{（n-3）（n-2）}{2}$個(gè)；
同理，a₃-a₂=1時(shí)，a₁共有$\frac{（n-2）（n-1）}{2}$個(gè)；
∴集合A的個(gè)數(shù)為：
$\frac{（n-3）（n-2）}{2}+\frac{（n-2）（n-1）}{2}$
=$\frac{2{n}^{2}-8n+8}{2}$
=（n-2）²，n≥5，n∈N^*．

點(diǎn)評(píng) 考查列舉法表示集合的概念和形式，分類(lèi)討論的方法，等差數(shù)列的求和公式．