Question

13．設(shè)兩個(gè)函數(shù)f（x）和g（x），其中f（x）是三次函數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f′（x）+2f′（-x）=-9x²-4x-3，f（0）=1，g（x）=$\frac{m}{x}$+xlnx（m≥1）．
（1）求函數(shù)f（x）的極值；
（2）證明：對(duì)于任意的x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≤g（x₂）成立．

Answer 1

分析 （1）使用待定系數(shù)法求解f（x）的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)判斷f（x）的單調(diào)性，得出極值點(diǎn)，計(jì)算極值；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，g（x）=$\frac{1}{x}$+xlnx，求出g（x）的最小值，與f（x）的最大值進(jìn)行比較即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則f′（x）=3ax²+2bx+c，f′（-x）=3ax²-2bx+c，
∴f′（x）+2f′（-x）=9ax²-2bx+3c=9x²-4x-3，
∴a=-1，b=2，c=-1，又f（0）=1，∴d=1．
∴f（x）=-x³+2x²-x+1，f′（x）=-3x²+4x-1，
令f′（x）=0得x=$\frac{1}{3}$或x=1．
∴當(dāng)x$＜\frac{1}{3}$或x＞1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)$\frac{1}{3}＜x＜1$時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{3}$，1）上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{3}$，+∞）上單調(diào)遞減，
故當(dāng)x=$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）取得極小值f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{23}{27}$，
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值f（1）=1．
證明：（2）要證明對(duì)于任意的x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≤g（x₂）成立即可．
只需證當(dāng)x₁，x₂∈（0，+∞）時(shí)，g（x₂）_min≥f（x₁）_max即可．
當(dāng)m=1時(shí)，$g（x）=\frac{1}{x}+xlnx$，則$g′（x）=-\frac{1}{x^2}+lnx+1=lnx+\frac{{{x^2}-1}}{x^2}$．
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=1，
由（1）知對(duì)任意x₁∈（0，+∞），f（x₁）_max=1，
又m≥1，$g（x）=\frac{m}{x}+xlnx≥\frac{1}{x}+xlnx≥1$，
∴當(dāng)x₁，x₂∈（0，+∞）時(shí)，g（x₂）_min≥f（x₁）_max成立
故對(duì)于任意的x₁，x₂∈（0，+∞）都有f（x₁）≤g（x₂）成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解析式的解法，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性，極值，最值的關(guān)系，屬于中檔題．