Question

9．若（1+y²）（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為45．

Answer 1

分析 寫出二項(xiàng)式（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式的通項(xiàng)，要使（1+y²）（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，再由x，y的指數(shù)為0，求得n，r的值，則答案可求．

解答 解：（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式的通項(xiàng)為C_n^r（-1）^rx^n-5ry^-r，
要使（1+y²）（x-$\frac{1}{{x}^{4}y}$）ⁿ（n∈N*）的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則$\left\{\begin{array}{l}{n-5r=0}\\{r=2}\end{array}\right.$，
解得r=2，n=10，
則常數(shù)項(xiàng)為：C₁₀²（-1）²=45；
故答案為：45．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)．