Question

17．已知tanα，tanβ是方程4x²+5x-1=0的兩根，且$0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）利用韋達(dá)定理求得tanα+tanβ 和tanα•tanβ的值，再利用兩角和的正切公式求得tan（α+β）的值．
（2）根據(jù)α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），且tan（α+β）=-1，求得α+β的值．

解答 解：（1）∵tanα，tanβ是方程4x²+5x-1=0的兩根，
且$0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$，
∴tanα+tanβ=-$\frac{5}{4}$，tanα•tanβ=-$\frac{1}{4}$，∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanα•tanβ}$=$\frac{-\frac{5}{4}}{1+\frac{1}{4}}$=-1．
（2）由 $0＜α＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}＜β＜π$，可得α+β∈（$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{2}$），tan（α+β）=-1，∴α+β=$\frac{3π}{4}$．

點評 本題主要考查韋達(dá)定理、兩角和的正切公式的應(yīng)用，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．