Question

20．某高中學校為了了解在校學生的身體健康狀況，從全校學生中，隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如圖：
根據(jù)學生體質(zhì)健康標準，成績不低于76的為優(yōu)良．
（1）將頻率視為概率，根據(jù)樣本估計總體的思想，在該校學生中任選3人進行體質(zhì)健康測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；
（2）從抽取的12人中隨機選取3人，記ξ表示成績“優(yōu)良”的學生人數(shù)，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）計算抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的頻率，用頻率估計概率，
再用對立事件的概率公式計算所求的概率值；
（2）由題意知ξ的可能取值，計算對應的概率值，
寫出ξ的分布列，計算數(shù)學期望值．

解答 解：（1）抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的有9人，頻率是$\frac{9}{12}$=$\frac{3}{4}$，
依題意知，從該校學生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為$\frac{3}{4}$；
設事件A表示“在該校學生中任選3人進行體質(zhì)健康測試，求至少有1人成績是優(yōu)良”，
則P（A）=1-${C}_{3}^{3}$•${（1-\frac{3}{4}）}^{3}$=1-$\frac{1}{64}$=$\frac{63}{64}$，
即至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率為$\frac{63}{64}$；
（2）由題意可知，ξ的可能取值為0，1，2，3；
則P（ξ=0）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{9}^{1}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{9}^{2}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{108}{220}$=$\frac{27}{55}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{84}{220}$=$\frac{21}{55}$；
則ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{220}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{21}{55}$

數(shù)學期望為E（ξ）=0×$\frac{1}{220}$+1×$\frac{27}{220}$+2×$\frac{27}{55}$+3×$\frac{21}{55}$=$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望的計算問題，是中檔題．