Question

13．（理科）如圖，在空間四面體ABCD中，若E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點，且AD⊥BC
（1）求證：四邊形EFGH是矩形．
（2）求證：AD∥平面EFGH．

Answer 1

分析 （1）推導出EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，從而EF$\underset{∥}{=}$GH，由此能證明四邊形EFGH是平行四邊形，再由AD⊥BC，得EF⊥GF，從而四邊形EFGH是矩形．
（2）推導出EF∥AD，由此能證明BC∥平面EFGH．

解答 證明：（1）∵在空間四面體ABCD中，
E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BD，CD，AC的中點，
∴EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，GH$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
∴EF$\underset{∥}{=}$GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵E，F(xiàn)分別是AB，DB的中點，∴EF∥AD，
∵G，F(xiàn)分別是DC，DB的中點，∴GF∥BC，
∵AD⊥BC，∴EF⊥GF，
∴四邊形EFGH是矩形．
（2）∵E，F(xiàn)分別是AB，DB的中點，∴EF∥AD，
∵EF?平面EFGH，AD?平面EFGH，
∴AD∥平面EFGH．

點評 本題考查四邊形是矩形的證明，考查線面平行的證明，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查轉化化歸思想、數(shù)形結合思想，是基礎題．