Question

20．若數列{b_n}是首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，則數列{nb_n}的前n項和T_n=（　�。�

• A． 2-（$\frac{1}{2}$）^n-1
• B． 2-（$\frac{1}{2}$）ⁿ
• C． 2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$
• D． 2-$\frac{n+1}{{2}^{n}}$

Answer 1

分析 利用等比數列的求和公式計算可知nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，進而利用錯位相減法計算即得結論．

解答 解：∵數列{b_n}是首項為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$的等比數列，
∴nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
兩式相減得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-（n+2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故選：C．

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．