Question

8．設(shè)定義在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上的函數(shù)f（x）=xsinx+cosx，則不等式f（2x）＜f（x-1）的解集是（　�。�

• A． （-1，$\frac{1}{3}$）
• B． （-∞，-1）∪（$\frac{1}{3}$，+∞）
• C． [1-$\frac{π}{2}$，$\frac{1}{3}$）
• D． （-1，$\frac{π}{4}$）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到關(guān)于x的不等式，解出即可．

解答 解：f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
x∈[-$\frac{π}{2}$，0）時(shí)，cosx＞0，f′（x）＜0，
x∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，cosx≥0，f′（x）≥0，
故f（x）在[-$\frac{π}{2}$，0）遞減，在（0，$\frac{π}{2}$]遞增，
而f（-x）=xsinx+cosx=f（x），f（x）是偶函數(shù)，
不等式f（2x）＜f（x-1），
即|2x|＜|x-1|，解得：-1＜x＜$\frac{1}{3}$，
而$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{2}≤2x≤\frac{π}{2}}\\{-\frac{π}{2}≤x-1≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得：1-$\frac{π}{2}$≤x≤$\frac{π}{4}$，
綜上，1-$\frac{π}{2}$≤x＜$\frac{1}{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．