Question

20．已知P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+4$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．現(xiàn)將一粒黃豆隨機(jī)灑在△ABC內(nèi)，則黃豆落在△BPC內(nèi)的概率為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合共線向量充要條件，得點(diǎn)P是△ABC邊AB上的中線CO的靠近C的三等分點(diǎn)．再根據(jù)幾何概型公式，將△PBC的面積與△ABC的面積相除可得本題的答案

解答 解：以PB、PA為鄰邊作平行四邊形PADB，則$\overrightarrow{PD}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}$，
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+4$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=-4$\overrightarrow{PC}$，得$\overrightarrow{PD}=-4\overrightarrow{PC}$，
∴$\overrightarrow{PD}=2\overrightarrow{PO}=-4\overrightarrow{PC}$，即$\overrightarrow{PO}=-2\overrightarrow{PC}$，
由此可得，P是△ABC邊AB上的中線CO的一個(gè)三等分點(diǎn)，
點(diǎn)P到AB的距離等于C到AB的距離的$\frac{2}{3}$．
∴S_△PBC=$\frac{1}{3}$S_△OBP．
將一粒黃豆隨機(jī)撒在△ABC內(nèi)，黃豆落在△PBC內(nèi)的概率為P=$\frac{{S}_{△PBC}}{{S}_{△ABC}}=\frac{1}{6}$
故答案為：$\frac{1}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題給出點(diǎn)P滿足的條件，求P點(diǎn)落在△PBC內(nèi)的概率，著重考查了平面向量加法法則、向量共線的充要條件和幾何概型等知識(shí)．