Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論關(guān)于x的方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)；
（3）若a≥-1，當(dāng)xf（x）≥x³-$\frac{5a+3}{2}{x}^{2}$+3ax-1+m對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立時(shí)，m的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導(dǎo)函數(shù)，通過當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）可得：對(duì)a分類討論，利用其單調(diào)性即可得出：方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)．
（3）$xf（x）≥{x^3}-\frac{5a+3}{2}{x^2}+3ax-1+m$，即$x（{{e^x}-ax}）≥{x^3}-\frac{5a+3}{2}{x^2}+3ax-1+m$對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，因此$m≤x{e^x}-{x^3}+\frac{{3（{a+1}）}}{2}{x^2}-3ax+1=x（{{e^x}-{x^2}+\frac{{3（{a+1}）}}{2}x-3a}）+1$對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立．令$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{{3（{a+1}）}}{2}x-3a$，x∈[0，+∞），因?yàn)閙的最大值為1，可知：$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{{3（{a+1}）}}{2}x-3a≥0$恒成立．必需g（0）=1-3a≥0，a$≤\frac{1}{3}$，則$-1≤a≤\frac{1}{3}$．g′（x）=e^x-2x+$\frac{3（a+1）}{2}$=h（x）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性最值可得g（x）的單調(diào)性極值與最值．

解答 解：（1）因?yàn)閒（x）=e^x-ax，所以f′（x）=e^x-a．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）=e^x-a＞0，所以f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
當(dāng)a＜0時(shí)，令f′（x）=e^x-a＞0，得x＞lna令，f′（x）=e^x-a＜0得x＜1na，
所以f（x）在（-∞，1na）上單調(diào)遞減；在（1na，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）由（1）可得：①當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增．
x→+∞時(shí)，f（x）→+∞；x→-∞時(shí)，f（x）→-∞．
因此此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為1．
②a=0時(shí)，f（x）=e^x＞0，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為0．
③當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，lna）；函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是[lna，+∞）．
可得函數(shù)f（x）的極小值即最小值為：f（x）_min=f（lna）=a-alna，
因此a=1時(shí)，f（x）_min=f（0）=1，∴此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為1．
a＞1時(shí)，f（x）_min=f（lna）=a-alna＜a，∴此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為2．
0＜a＜1時(shí)，f（x）_min=f（lna）=a-alna＞a，∴此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為0．
綜上可得：①當(dāng)a＜0時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為1．
②a=0時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為0．
③當(dāng)a＞0時(shí)，a=1時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為1．
a＞1時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為2．
0＜a＜1時(shí)，此時(shí)方程f（x）=a的根的個(gè)數(shù)為0．
（3）$xf（x）≥{x^3}-\frac{5a+3}{2}{x^2}+3ax-1+m$，即$x（{{e^x}-ax}）≥{x^3}-\frac{5a+3}{2}{x^2}+3ax-1+m$
對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立，
所以$m≤x{e^x}-{x^3}+\frac{{3（{a+1}）}}{2}{x^2}-3ax+1=x（{{e^x}-{x^2}+\frac{{3（{a+1}）}}{2}x-3a}）+1$
對(duì)任意x∈[0，+∞）恒成立．
令$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{{3（{a+1}）}}{2}x-3a$，x∈[0，+∞），因?yàn)閙的最大值為1，
所以$g（x）={e^x}-{x^2}+\frac{{3（{a+1}）}}{2}x-3a≥0$恒成立．必需g（0）=1-3a≥0，a$≤\frac{1}{3}$，則$-1≤a≤\frac{1}{3}$．
g′（x）=e^x-2x+$\frac{3（a+1）}{2}$=h（x）．
h′（x）=e^x-2，可知：x=ln2時(shí)h（x）即g′（x）取得極小值即最小值．
g′（ln2）=2-2ln2+$\frac{3（a+1）}{2}$．
由$-1≤a≤\frac{1}{3}$，∴g′（ln2）≥2-2ln2＞0，
∴函數(shù)g（x）在x∈[0，+∞）上單調(diào)遞增，
因此$-1≤a≤\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值并且研究方程的根的個(gè)數(shù)、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．