Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{a+lnx}{x-1}$（x＞1）
（1）當a=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）當a=0時，判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）當x＞1時，證明：$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}-2}$（e為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）把a=1代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)小于0在（1，+∞）上恒成立，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）把a=0代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）=$\frac{x-xlnx-1}{x（x-1）^{2}}$，再由導(dǎo)數(shù)可得h（x）=x-xlnx-1＜0在（1，+∞）上恒成立，可得函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）把要證的不等式化為$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{x}^{x}-1-1}$．令r（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，即證r（x）＞r（e^x-1）．由（2）知r（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為證x＜e^x-1．構(gòu)造函數(shù)
令s（x）=x-e^x+1，再由導(dǎo)數(shù)證明s（x）＜0在（1，+∞）上成立得答案．

解答 （1）解：當a=1時，f（x）=$\frac{1+lnx}{x-1}$，f′（x）=$\frac{1-\frac{1}{x}-1-lnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{-\frac{1}{x}-lnx}{（x-1）^{2}}$（x＞1）．
∵當x＞1時，$-\frac{1}{x}-lnx$＜0，∴f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+∞）；
（2）當a=0時，f（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，f′（x）=$\frac{1-\frac{1}{x}-lnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-xlnx-1}{x（x-1）^{2}}$（x＞1）．
令h（x）=x-xlnx-1，h′（x）=1-lnx-1=-lnx＜0，
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，又h（1）=0，
∴h（x）＜0，即f′（x）＜0在（1，+∞）上恒成立，
故函數(shù)f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
（3）證明：要證$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}-2}$，即證$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{x}^{x}-1-1}$．
令r（x）=$\frac{lnx}{x-1}$，即證r（x）＞r（e^x-1）．
由（2）知，r（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
又x＞1，e^x-1＞1，
需證x＜e^x-1．
令s（x）=x-e^x+1，則s′（x）=1-e^x＜0，
s（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴s（x）＜s（1）=-e＜0，
即x＜e^x-1．
故$\frac{lnx}{x-1}$＞$\frac{ln（{e}^{x}-1）}{{e}^{x}-2}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和函數(shù)構(gòu)造法，訓(xùn)練了分析法證明函數(shù)不等式，是中檔題．