Question

12．某市有中型水庫1座，小型水庫3座，當(dāng)水庫的水位超過警戒水位時(shí)就需要泄洪．氣象部門預(yù)計(jì)，今年夏季雨水偏多，中型水庫需要泄洪的概率為$\frac{2}{5}$，小弄水庫需要泄洪的概率為$\frac{1}{2}$，假設(shè)每座水庫是否泄洪相互獨(dú)立．
（1）求至少有一座水庫需要泄洪的概率；
（2）設(shè)1座中型水庫泄洪造成的損失量為2個(gè)單位，1座小型水庫泄洪造成的損失量為1個(gè)單位，設(shè)ξ表示這4座水庫泄洪所造成的損失量之和，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）利用對立事件概率計(jì)算公式能求出至少有一座水庫需要泄洪的概率．
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5．分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）至少有一座水庫需要泄洪的概率是1-（1-$\frac{2}{5}$）×（1-$\frac{1}{2}$）³=$\frac{37}{40}$．…（3分）
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5．
P（ξ=0）=（1-$\frac{2}{5}$）×（1-$\frac{1}{2}$）³=$\frac{3}{40}$，
P（ξ=1）=（1-$\frac{2}{5}$）×${C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}$=$\frac{9}{40}$，
P（ξ=2）=$\frac{2}{5}×（1-\frac{1}{2}）^{3}+（1-\frac{2}{5}）×{C}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{11}{40}$，
P（ξ=3）=$\frac{2}{5}×{C}_{3}^{1}×\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{2}）^{2}+（1-\frac{2}{5}）×（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{9}{40}$，
P（ξ=4）=$\frac{2}{5}×{C}_{3}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}×（1-\frac{1}{2}）$=$\frac{3}{20}$，
P（ξ=5）=$\frac{2}{5}×（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{1}{20}$．
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{40}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{11}{40}$	$\frac{9}{40}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{20}$

故Eξ=$0×\frac{3}{40}+1×\frac{9}{40}+2×\frac{11}{40}+3×\frac{9}{40}+4×\frac{3}{20}$+5×$\frac{1}{20}$=$\frac{23}{10}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對立事件概率公式的合理運(yùn)用．