Question

已知函數f（x）=|x-a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，求實數a的值；
（2）在 （1）的條件下，若存在x∈R使得f（x）+f（x+5）≤m成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）利用同一個不等式的解集是相等集合得到端點的關系求a；
（2）要使存在x∈R使得f（x）+f（x+5）≤m成立，只要求出f（x）+f（x+5）的最小值即可，構造函數g（x）=f（x）+f（x+5），借助于三角不等式的性質求g（x）的最小值．

解答： 解：（1）．由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，又已知不等式f（x）≤3的解集為{x|-1≤x≤5}，所以

a-3=-1 a+3=5

，解得a=2；
（2）．當a=2時f（x）=|x-2|．
設g（x）=f（x）+f（x+5）=|x-2|+|x+3|，由|x-2|+|x+3|≥5，（當且僅當-3≤x≤2時等號成立）
得，g（x）的最小值為5．從而存在x∈R，使得f（x）+f（x+5）≤m成立，即存在x∈R，使得g（x）≤m成立，所以m的取值范圍為[5，+∞）．

點評：本題考查了絕對值不等式的解法以及絕對值函數的值域的求法．