Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³+x²+（m²-1）x（x∈R）
（1）當m=1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值
（2）若函數(shù)y=f（sinx）在x∈[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，得到關(guān)于m的不等式，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x，（x∈R），
∴f′（x）=-x²+2x+m²-1．
令f′（x）=0，解得x=1-m，或x=1+m．
因為m＞0，所以1+m＞1-m．
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，1-m）	1-m	（1-m，1+m）	1+m	（1+m，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

所以f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）內(nèi)是減函數(shù)，在（1-m，1+m）內(nèi)是增函數(shù)．
f（x）在x=1-m處取極小值f（1-m）=-

2

3

m³+m²-

1

3

．
f（x）在x=1+m處取極大值f（1+m）=

2

3

m³+m²-

1

3

．
（2）由（1）知函數(shù)f（x）在（1-m，1+m）上單調(diào)遞增，
∵y=sinx在x∈[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，又y=f（sinx）在x∈[0，

π

2

]上單調(diào)遞增，
∴

1-m≥0 1+m≤ π 2 1-m＜1+m

，
解得0＜m≤

π

2

-1，
故m的取值范圍為（0，

π

2

-1]

點評：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值的關(guān)系，以及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和不等式的解法，屬于中檔題．