Question

1．已知多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，AD⊥平面AEC，且$AC=\sqrt{2}$，AE=EC=1，AD=2EF，EF∥AD．
（Ⅰ）求證：平面FCE⊥平面ADE；
（Ⅱ）若直線AE與平面ACF所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，求AD的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明：EC⊥平面ADE，即可證明平面FCE⊥平面ADE；
（Ⅱ）若直線AE與平面ACF所成的角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，建立空間直角坐標系，利用向量方法求AD的值．

解答 （Ⅰ）證明：因為AD⊥平面AEC，EC?平面AEC，所以AD⊥EC．
又$AC=\sqrt{2}$，AE=EC=1，所以AC²=AE²+EC²，所以AE⊥EC．
又AE∩AD=A，所以EC⊥平面ADE．
因為EC?平面FCE，所以平面FCE⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：以A為原點，AC，AD所在直線為x，y軸，過點A且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標系，設AD=2a（a＞0），則A（0，0，0），$C（{\sqrt{2}，0，0}）$，$E（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，$F（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-a，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
設平面ACF的一個法向量為$\overrightarrow m=（{x，y，z}）$，因為$\overrightarrow{AC}=（{\sqrt{2}，0，0}）$，$\overrightarrow{AF}=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-a，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，
所以$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow m•\overrightarrow{AC}=0\\ \overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=0\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}x=0\\ \frac{{\sqrt{2}}}{2}x-ay+\frac{{\sqrt{2}}}{2}z=0\end{array}\right.$取$z=\sqrt{2}$，得$y=\frac{1}{a}$，則$\overrightarrow m=（{0，\frac{1}{a}，\sqrt{2}}）$．
又因為$\overrightarrow{AE}=（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$，設直線AE與平面ACF所成的角為θ，則$sinθ=\frac{{|{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow m}|}}{{|{\overrightarrow{AE}}||{\overrightarrow m}|}}$=$\frac{1}{{\sqrt{\frac{1}{a^2}+2}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
解得a=1（a=-1舍去），故AD=2．

點評 本題考查直線與平面垂直、平面與平面垂直的證明，考查直線AE與平面ACF所成的角的求法，考查向量方法的運用，屬于中檔題．