Question

18．已知函數(shù)f（x）=mx²+mx-1．
（1）若對(duì)于任意x∈R，f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若對(duì)于任意x∈[0，+∞），f（x）＜（m+2）x²恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過m是否為0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解即可．
（2）對(duì)于任意x∈[0，+∞），f（x）＜（m+2）x²恒成立，列出m的不等式，利用基本不等式求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，-1＜0，符合對(duì)于任意x∈R，f（x）＜0恒成立；
當(dāng)m≠0時(shí)，對(duì)于任意x∈R，f（x）＜0恒成立，即mx²+mx-1＜0，可得$\left\{\begin{array}{l}m＜0\\△＜0\end{array}\right.$，解得-4＜m＜0，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍：（-4，0]．
（2）對(duì)于任意x∈[0，+∞），f（x）＜（m+2）x²恒成立，化簡(jiǎn)得：mx＜2x²+1．
當(dāng)x=0時(shí)，不等式恒成立，即m∈R，
當(dāng)x＞0時(shí)，$m＜2x+\frac{1}{x}$，
因?yàn)閤＞0，所以$2x+\frac{1}{x}≥2\sqrt{2}$，即$m＜2\sqrt{2}$，
綜上，$m＜2\sqrt{2}$．實(shí)數(shù)m的取值范圍：（-∞，$2\sqrt{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．