3.若等邊△ABC的邊長為3,平面內(nèi)一點M滿足$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$,則$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$的值為2.

分析 由已知畫出圖形,把$\overrightarrow{AM}、\overrightarrow{MB}$都用$\overrightarrow{CB}、\overrightarrow{CA}$表示,展開后代入數(shù)量積公式求值.

解答 解:如圖,△ABC是邊長為3的等邊三角形,且$\overrightarrow{CM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$,

∴$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{MB}$=$(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM})•(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CM})$=$(-\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA})•(\overrightarrow{CB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA})$
=$(\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA})•(\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA})$=$\frac{2}{9}|\overrightarrow{CB}{|}^{2}-\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}•\overrightarrow{CA}+\frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$
=$\frac{2}{9}|\overrightarrow{CB}{|}^{2}-\frac{1}{2}|\overrightarrow{CB}||\overrightarrow{CA}|cos60°+\frac{1}{4}|\overrightarrow{CA}{|}^{2}$=$\frac{2}{9}×9-\frac{1}{2}×3×3×\frac{1}{2}+\frac{1}{4}×{3}^{2}=2$.
故答案為:2.

點評 本題考查平面向量的數(shù)量積運算,考查平面向量基本定理的應(yīng)用,是中檔題.

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