14.已知等差數(shù)列{an}的前三項分別為λ,6,3λ,前n項和為Sn,且Sk=165.
(1)求λ及k的值;
(2)設bn=$\frac{3}{2Sn}$,且數(shù)列{bn}的前n項和Tn,證明:$\frac{1}{2}$≤Tn<1.

分析 (1)由λ,6,3λ成等差數(shù)列,可得λ+3λ=12,解得λ,再利用求和公式即可得出.
(2)bn=$\frac{3}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,利用裂項求和方法與數(shù)列的單調性即可證明.

解答 (1)解:∵λ,6,3λ成等差數(shù)列,∴λ+3λ=12,∴λ=3.(2分)
∴等差數(shù)列{an}的首項a1=3,公差d=3,(3分)
故前n項和Sn=$3n+\frac{n(n-1)}{2}$×3=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$,
由Sk=165,即$\frac{3{k}^{2}+3k}{2}$=165,解得k=10.(6分)
(2)證明:∵bn=$\frac{3}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,(8分)
∴T=b1+b2+…+bn=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$.(10分)
由于Tn=$\frac{n}{n+1}$是關于n的增函數(shù),故Tn≥T1=$\frac{1}{2}$,所以$\frac{1}{2}$≤Tn<1.(12分)

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、裂項求和方法與數(shù)列的單調性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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