Question

14．已知等差數(shù)列{a_n}的前三項分別為λ，6，3λ，前n項和為S_n，且S_k=165．
（1）求λ及k的值；
（2）設b_n=$\frac{3}{2Sn}$，且數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，證明：$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由λ，6，3λ成等差數(shù)列，可得λ+3λ=12，解得λ，再利用求和公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{3}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用裂項求和方法與數(shù)列的單調性即可證明．

解答 （1）解：∵λ，6，3λ成等差數(shù)列，∴λ+3λ=12，∴λ=3．（2分）
∴等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=3，公差d=3，（3分）
故前n項和S_n=$3n+\frac{n（n-1）}{2}$×3=$\frac{3{n}^{2}+3n}{2}$，
由S_k=165，即$\frac{3{k}^{2}+3k}{2}$=165，解得k=10．（6分）
（2）證明：∵b_n=$\frac{3}{2{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，（8分）
∴T=b₁+b₂+…+b_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．（10分）
由于T_n=$\frac{n}{n+1}$是關于n的增函數(shù)，故T_n≥T₁=$\frac{1}{2}$，所以$\frac{1}{2}$≤T_n＜1．（12分）

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式與求和公式、裂項求和方法與數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．