Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù).

（Ⅰ）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減;(2) .

【解析】試題分析：

（Ⅰ）根據(jù)題意得到的解析式和定義域，求導后根據(jù)導函數(shù)的符號判斷單調(diào)性．（Ⅱ）分析題意可得對任意， 恒成立，構造函數(shù)，則有對任意， 恒成立，然后通過求函數(shù)的最值可得所求．

試題解析：

（I）由題意得， ， ∴ .

當時， ，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，令，解得；令，解得.

故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（II）由題意知.

，

當時，函數(shù)單調(diào)遞增．

不妨設 ，又函數(shù)單調(diào)遞減，

所以原問題等價于：當時，對任意，不等式 恒成立，

即對任意， 恒成立.

記，

由題意得在上單調(diào)遞減.

所以對任意， 恒成立.

令， ，

則在上恒成立.

故，

而在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在上的最大值為.

由，解得.

故實數(shù)的最小值為．