Question

6．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)（2$\sqrt{3}$，1），且以橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)P（x，y）是橢圓E上的動點(diǎn)，M（2，0）為一定點(diǎn)，求|PM|的最小值及取得最小值時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求得2b=a，將點(diǎn)（2$\sqrt{3}$，1），代入橢圓方程，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）利用兩點(diǎn)之間的距離公式，求得丨PM丨²=（x-2）²+y²，由P在橢圓上，則y²=4-$\frac{{x}^{2}}{4}$，代入利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得|PM|的最小值及P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知：2b=a，
將（2$\sqrt{3}$，1）代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{4^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$，
解得：b²=4，a²=16，
∴橢圓E的方程$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（Ⅱ）由丨PM丨²=（x-2）²+y²，由P（x，y）在橢圓上，（-4≤x≤4）則y²=4-$\frac{{x}^{2}}{4}$，
∴丨PM丨²=x²-4x+4+4-$\frac{{x}^{2}}{4}$=$\frac{3}{4}$x-4x+8=$\frac{3}{4}$（x+$\frac{8}{3}$）+$\frac{8}{3}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{8}{3}$時(shí)，丨PM丨取最小值，最小值為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，
∴當(dāng)x=-$\frac{8}{3}$，解得：y=±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴|PM|的最小值$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，P點(diǎn)的坐標(biāo)（-$\frac{8}{3}$，±$\frac{2\sqrt{5}}{3}$）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，兩點(diǎn)之間的距離公式，二次函數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．