Question

16．已知實數(shù)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{2x-y+1≥0}\\{x-2y+2≥0}\end{array}}\right.$，則x+3y的最大值為10．

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．

解答 解：作出不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{2x-y+1≥0}\\{x-2y+2≥0}\end{array}}\right.$對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）
由z=x+3y得y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
平移直線y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z，
由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z經(jīng)過點B時，直線y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$z的截距最大，
此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4=0}\\{2x-y+1=0}\end{array}\right.$，解得B（1，3），
代入目標(biāo)函數(shù)z=x+3y得z=1+3×3=10
故答案為：10．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．