Question

7．正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，P，Q，R分別是棱A₁A，A₁B₁，A₁D₁的中點，以△PQR為底面作直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），若此三棱柱另一底面的三個頂點也都在該正方體的表面上，則這個三棱柱的高為（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a
• B． $\sqrt{2}$a
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{3}$a
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a

Answer 1

分析 該直三棱柱的另一底面三個頂點分別是面ABCD、面DD₁C₁C、面BB₁C₁C的中心，記為M、N、H，則三這個棱柱的高h=PM=RN=QH，由此能求出結(jié)果．

解答 解：∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，P，Q，R分別是棱A₁A，A₁B₁，A₁D₁的中點，
以△PQR為底面作直三棱柱（側(cè)棱與底面垂直的三棱柱叫直三棱柱），
∴該直三棱柱的另一底面三個頂點分別是面ABCD、面DD₁C₁C、面BB₁C₁C的中心，記為M、N、H，
則三這個棱柱的高h=PM=RN=QH，
這個三棱柱的高h=PM=$\sqrt{P{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{a}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$．
故選：D．

點評 本題考查三棱柱的高的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．