Question

14．設(shè)向量$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{π}{2}$x，cos$\frac{π}{2}$x），$\overrightarrow$=（sin$\frac{π}{2}$x，$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x），x∈R，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）$，求：
（1）f（x）的最小正周期；
（2）f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值和最小值，以及取得最大值和最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析 （1）由平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn)f（x），即可求出f（x）的最小正周期；
（2）根據(jù)x∈[0，1]，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求出f（x）的最值以及對(duì)應(yīng)的x的取值．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sin$\frac{π}{2}$x，cos$\frac{π}{2}$x），$\overrightarrow$=（sin$\frac{π}{2}$x，$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x），x∈R，
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）$
=（sin$\frac{π}{2}$x，cos$\frac{π}{2}$x）•（3sin$\frac{π}{2}$x，cos$\frac{π}{2}$x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x）
=3sin²$\frac{π}{2}$x+（cos$\frac{π}{2}$x+2$\sqrt{3}$sin$\frac{π}{2}$x）cos$\frac{π}{2}$x
=$\sqrt{3}$sinπx-cosπx+2
=2sin（πx-$\frac{π}{6}$）+2，
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{π}$=2；
（2）∵x∈[0，1]，∴πx-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（πx-$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]；
當(dāng)πx-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$，即x=0時(shí)，f（x）取得最小值為2×（-$\frac{1}{2}$）+2=1，
當(dāng)πx-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值為2×1+2=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的恒等變換問(wèn)題，也考查了正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．