Question

11．已知函數(shù)f（x）=e^x-mx²-2x
（1）若m=0，討論f（x）的單調(diào)性；
（2）若x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）＞$\frac{e}{2}$-1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)m=0時(shí)，f′（x）=e^x-2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能討論f（x）的單調(diào)性．
（2）原不等式等價(jià)于${e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1＞m{x}^{2}$恒成立．當(dāng)x=0時(shí)，對于任意m都成立，當(dāng)x≠0時(shí)，m＜$\frac{{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1}{{x}^{2}}$恒成立，令g（x）=$\frac{{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1}{{x}^{2}}$，則${g}^{'}（x）=\frac{（x-2）{e}^{x}+2x+e-2}{{x}^{3}}$，令h（x）=（x-2）e^x+2x+e-2，則h′（x）=（x-1）e^x+2，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出m的取值范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=e^x-2x．
f′（x）=e^x-2，令f′（x）＞0，得x＞ln2．
令f′（x）＜0，得x＜lnx，
∴f（x）在（-∞，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增．…（4分）
（2）∵x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）＞$\frac{e}{2}$-1恒成立，
∴${e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1＞m{x}^{2}$恒成立．
當(dāng)x=0時(shí)，對于任意m都成立，…（5分）
當(dāng)x≠0時(shí)，即m＜$\frac{{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1}{{x}^{2}}$恒成立．…（6分）
令g（x）=$\frac{{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1}{{x}^{2}}$，則${g}^{'}（x）=\frac{（{e}^{x}-2）{x}^{2}-2x（{e}^{x}-2x-\frac{e}{2}+1）}{{x}^{4}}$，
整理得${g}^{'}（x）=\frac{（x-2）{e}^{x}+2x+e-2}{{x}^{3}}$，…（8分）
令h（x）=（x-2）e^x+2x+e-2，注意到h（1）=0，
h′（x）=（x-1）e^x+2，h′（x）=xe^x＞0，
故知h′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，h′（x）＞h′（0）=1＞0．
故知h（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，又h（1）=0．  …（10分）
故知h（x）在（0，1）上為負(fù)，（1，+∞）上為正．
故知g（x）（0，1）上遞減，（1，+∞）上遞增．
故$g（x）_{min}=g（1）=\frac{e-2-\frac{e}{2}+1}{1}=\frac{e}{2}-1$，
故m＜$\frac{e}{2}-1$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)的討論，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，是中檔題．