Question

20．設(shè)p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{36}$）的定義域為R； q：2^x-4^x$＜2a-\frac{3}{4}$對一切實數(shù)x恒成立．如果命題“p且q“為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 p：由題意可得：ax²-x+$\frac{a}{36}$＞0恒成立，對a分類討論：a=0時不滿足，舍去；a≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{9}＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．對于命題q：g（x）=2^x-4^x=$-（{2}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$$≤\frac{1}{4}$，可得$2a-\frac{3}{4}$$＞\frac{1}{4}$，解得a范圍．若命題“p且q“為真命題，則p與q都為真命題，求得a范圍．由于“p且q“為假命題，則p與q至少一個為假命題，即可得出．

解答 解：∵p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{36}$）的定義域為R，
∴ax²-x+$\frac{a}{36}$＞0恒成立，a=0時不滿足，舍去；
a≠0時，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{{a}^{2}}{9}＜0}\end{array}\right.$，解得a＞3．
對于命題q：g（x）=2^x-4^x=$-（{2}^{x}-\frac{1}{2}）^{2}$+$\frac{1}{4}$$≤\frac{1}{4}$，∴$2a-\frac{3}{4}$$＞\frac{1}{4}$，解得a$＞\frac{1}{2}$．
若命題“p且q“為真命題，則p與q都為真命題，于是$\left\{\begin{array}{l}{a＞3}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得a＞3．
由于“p且q“為假命題，則p與q至少一個為假命題，∴a≤3．
∴實數(shù)a的取值范圍是（-∞，3]．

點評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)、復(fù)合命題的真假的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．