Question

8．已知函數(shù)f（x）=x^a的圖象過點（4，2），a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}（n∈{N_+}）$，數(shù)列{a_n}的前n項和為s_n，則s₂₀₁₅為（　�。�

• A． $\sqrt{2014}$-1
• B． $\sqrt{2015}$-1
• C． $\sqrt{2016}$-1
• D． $\sqrt{2016}$+1

Answer 1

分析 首先根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過已知點，求出函數(shù)的解析式，進一步利用函數(shù)的解析式求出數(shù)列的通項公式，最后利用裂項相消法求出數(shù)列的和．

解答 解：函數(shù)f（x）=x^a的圖象過點（4，2），
則：4^a=2，
解得：a=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\sqrt{x}$，
∴a_n=$\frac{1}{f（n+1）+f（n）}$=$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$=$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$，
則：S_n=a₁+a₂+…+a_n=（$\sqrt{2}$-1）+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）+（$\sqrt{4}$-$\sqrt{3}$）+…+（$\sqrt{n+1}$-$\sqrt{n}$）=$\sqrt{n+1}$-1，
∴s₂₀₁₅=$\sqrt{2016}$-1，
故選：C．

點評 本題考查的知識要點：函數(shù)解析式的求法，利用裂項相消法求數(shù)列的和．屬于基礎題型．