Question

1．已知定義域為R的函數(shù)f（x）的圖象經(jīng)過點（1，1），且對任意實數(shù)x₁＜x₂，都有$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞-2$，則不等式$f（{log_2}|{3^x}-1|）＜3-{log_{\sqrt{2}}}|{3^x}-1|$的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）∪（0，1）
• B． （0，+∞）
• C． （-1，0）∪（0，3）
• D． （-∞，1）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)的思想，利用到函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性．在根據(jù)單調(diào)性求解不等式即可．

解答 解：由題意，令F（x）=f（x）+2x，
由任意x＜y，$\frac{f（x）-f（y）}{x-y}＞-2$
可得f（x）+2x＜f（y）+2y，
∴F（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由f（1）=1，得F（1）=f（1）+2=3，
∵$f（{log_2}|{3^x}-1|）＜3-{log_{\sqrt{2}}}|{3^x}-1|$等價于$f（{log_2}|{3^x}-1|）+2{log_2}|{3^x}-1|＜3$，
令$t={log_2}|{3^x}-1|$，有f（t）+2t＜3，則有t＜1，即${log_2}|{3^x}-1|＜1$，
從而|3^x-1|＜2，
解得x＜1，且x≠0．
故選A．

點評 本題是考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用和構(gòu)造思想的靈活性．屬于難題．