Question

3．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1-x}{1+x}$．
（1）求證：$f（{\frac{1}{x}}）=-f（x）$．（x≠-1，x≠0）
（2）說明f（x）的圖象可以由函數(shù)$y=\frac{2}{x}$的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
（3）當(dāng)x∈Z時(shí)，m≤f（x）≤M恒成立，求M-m的最小值．

Answer 1

分析 （1）直接代入計(jì)算，可得結(jié)論；
（2）f（x）=-1+$\frac{2}{1+x}$，可得結(jié)論；
（3）當(dāng)x∈Z時(shí)，f（x）的最小值為f（-2）=-3，最大值為f（0）=1，即可求M-m的最小值．

解答 （1）證明：f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{1-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{x-1}{x+1}$=-f（x）；
（2）解：f（x）=-1+$\frac{2}{1+x}$，∴f（x）的圖象可以由函數(shù)$y=\frac{2}{x}$的圖象向左1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到；
（3）解：當(dāng)x∈Z時(shí)，f（x）的最小值為f（-2）=-3，最大值為f（0）=1，
∵m≤f（x）≤M恒成立，∴M-m的最小值為4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的計(jì)算，考查圖象變換，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．