Question

18．將函數(shù)y=sin（x+α）+sin（x+β）化為y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的形式后，振幅為1，則α-β=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z．

Answer 1

分析 化函數(shù)y為y=Asin（ωx+φ）后，振幅為1，
得出（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²=1，求出cos（α-β）=-$\frac{1}{2}$，得α-β的值．

解答 解：函數(shù)y=sin（x+α）+sin（x+β）
=（sinxcosα+cosxsinα）+（sinxcosβ+cosxsinβ）
=sinx（cosα+cosβ）+cosx（sinα+sinβ），
化為y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）后，振幅為1，
∴（cosα+cosβ）²+（sinα+sinβ）²
=cos²α+2cosαcosβ+cos²β+sin²α+2sinαsinβ+sin²β
=2+2cos（α-β）=1，
∴cos（α-β）=-$\frac{1}{2}$，
α-β=2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
故答案為：2kπ±$\frac{2π}{3}$，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．