Question

12．若曲線 ${C_1}：y={x^2}$與曲線 ${C_2}：y=a{e^x}（a≠0）$存在唯一條公共切線，則a的取值范圍為a＜0或a=$\frac{4}{{e}^{2}}$．

Answer 1

分析 分別求出兩個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由兩函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)相等，并由斜率公式，得到由此得到m=2n-2，則4n-4=aeⁿ有唯一解．再由導(dǎo)數(shù)即可進一步求得a的取值．

解答 解：y=x²在點（m，m²）的切線斜率為2m，
y=ae^x在點（n，aeⁿ）的切線斜率為aeⁿ，
如果兩個曲線存在唯一一條公共切線，那么：2m=aeⁿ．
又由斜率公式得到，2m=$\frac{{m}^{2}-aai6ek8i^{n}}{m-n}$，
由此得到m=2n-2，
則4n-4=aeⁿ有唯一解．
由y=4x-4，y=ae^x的圖象有唯一交點即可．
a＜0，顯然滿足，
a＞0，設(shè)切點為（s，t），則ae^s=4，且t=4s-4=ae^s，
即有切點（2，4），a=$\frac{4}{{e}^{2}}$，
故答案為a＜0或a=$\frac{4}{{e}^{2}}$．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，過曲線上某點處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．