Question

11．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+{y^2}=1（a＞1）$，離心率$e=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．直線l：x=my+1與x軸交于點A，與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點．自點E，F(xiàn)分別向直線x=3作垂線，垂足分別為E₁，F(xiàn)₁．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及焦點坐標；
（Ⅱ）記△AEE₁，△AE₁F₁，△AFF₁的面積分別為S₁，S₂，S₃，試證明$\frac{{{S_1}{S_3}}}{{{S_2}^2}}$為定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由b=1，橢圓的離心率公式即可求得a的值，求得橢圓方程及焦點坐標；
（Ⅰ）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理及三角形的面積公式，求得S₁S₃及S₃²，即可證明$\frac{{{S_1}{S_3}}}{{{S_2}^2}}$為定值．

解答 解：（Ⅰ）由題意可知b=1，橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，即$\frac{{{a^2}-1}}{a^2}=\frac{2}{3}$．
解得：a²=3．即$a=\sqrt{3}$．
∴$c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}=\sqrt{2}$．
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$，焦點坐標為$（±\sqrt{2}，0）$．…（4分）
（Ⅱ）由$\left\{{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x^2}+3{y^2}-3=0}\end{array}}\right.$，整理得（m²+3）y²+2my-2=0，顯然m∈R，
設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則${y_1}+{y_2}=\frac{-2m}{{{m^2}+3}}，{y_1}{y_2}=\frac{-2}{{{m^2}+3}}$，E₁（3，y₁），F(xiàn)₁（3，y₂），
∵${S_1}{S_3}=\frac{1}{2}（3-{x_1}）|{y_1}|•\frac{1}{2}（3-{x_2}）|{y_2}|$=$\frac{1}{4}（2-m{y_1}）（2-m{y_2}）|{{y_1}{y_2}}|$=$\frac{1}{4}[4-2m（{y_1}+{y_2}）+{m^2}{y_1}{y_2}]|{{y_1}{y_2}}|$=$\frac{1}{4}（4-2m•\frac{-2m}{{{m^2}+3}}+{m^2}•\frac{-2}{{{m^2}+3}}）|{\frac{-2}{{{m^2}+3}}}|$=$\frac{{3（{m^2}+2）}}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}$，
又∵${S_2}^2={[\frac{1}{2}×2|{{y_1}-{y_2}}|]^2}$=${（{y_1}+{y_2}）^2}-4{y_1}{y_2}$，
=$\frac{4{m}^{2}}{（{m}^{2}+3）^{2}}$+$\frac{8}{{m}^{2}+3}$，
=$\frac{4{m}^{2}+8{m}^{2}+24}{（{m}^{2}+3）^{2}}$=$\frac{12{m}^{2}+24}{（{m}^{2}+3）^{2}}$．
∴$\frac{{{S_1}{S_3}}}{{{S_2}^2}}=\frac{{\frac{{3（{m^2}+2）}}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}}}{{\frac{{12（{m^2}+2）}}{{{{（{m^2}+3）}^2}}}}}=\frac{1}{4}$．…（14分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，考查計算能力，屬于中檔題．