Question

6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點P（x，y）到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于它到定點（1，1）的距離，記點P的軌跡為C．給出下面四個結(jié)論：
①曲線C關(guān)于原點對稱；
②曲線C關(guān)于直線y=x對稱；
③點（-a²，1）（a∈R）在曲線C上；
④在第一象限內(nèi)，曲線C與x軸的非負(fù)半軸、y軸的非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于$\frac{1}{2}$．
其中所有正確結(jié)論的序號是②③④．

Answer 1

分析 根據(jù)動點P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點（1，1）的距離，可得曲線方程，作出曲線的圖象，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵動點P（x，y）到兩條坐標(biāo)軸的距離之和等于它到點（1，1）的距離，
∴|x|+|y|=$\sqrt{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}}$，
∴|xy|+x+y-1=0，
若xy＞0，則xy+x+y+1=2，即（x+1）（y+1）=2，
∴y=$\frac{2}{x+1}-1$，函數(shù)為以（-1，-1）為中心的雙曲線的一支；
若xy＜0，則xy-x-y+1=0，即（x-1）（y-1）=0，
∴x=1（y＜0）或y=1（x＜0）．
函數(shù)的圖象如圖所示：
∴曲線C關(guān)于直線y=x對稱；
點（-a²，1）（a∈R）在曲線C上；
曲線C與x軸非負(fù)半軸，y軸非負(fù)半軸圍成的封閉圖形的面積小于$\frac{1}{2}$．
∴所有正確結(jié)論的序號是②③④．
故答案為：②③④．

點評 本題考查軌跡方程，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，由已知求出軌跡方程，正確作出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵，是中檔題．