Question

11．三棱錐S-ABC中，AB=BC=AC=2，SC=4，SA=SB，SC與平面ABC所成角的余弦值是$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，若S，A，B，C都在同一球面上，則該球的表面積是（　�。�

• A． 4π
• B． 8π
• C． 16π
• D． 64π

Answer 1

分析 取AB中點(diǎn)，連結(jié)SD，CD，∠SCD就是SC與平面ABC所成角，在△SDC中，由余弦定理得SD、SA、SB，由SA²+AC²=SC²，SB²+BC²=SC²得SC 的中點(diǎn)為三棱錐S-ABC外接球的球心，半徑即可

解答 解：如圖取AB中點(diǎn)，連結(jié)SD，CD，
∵AB=BC=AC=2，SA=SB，∴CD⊥AB，SD⊥AB，CD=$\sqrt{3}$，
⇒AB⊥面SDC，∴面SDC⊥面ABC，
∴∠SCD就是SC與平面ABC所成角，
在△SDC中，由余弦定理得SD=$\sqrt{11}$．
從而得到SA=SB=2$\sqrt{3}$，
∴SA²+AC²=SC²，SB²+BC²=SC²，
∴△ACS，△CBS，有公共斜邊SC，故SC 的中點(diǎn)為三棱錐S-ABC外接球的球心，半徑為2，
該球的表面積s=4πR²=16π，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三棱錐的外接球，關(guān)鍵是找到球心，求出半徑，屬于中檔題．