Question

20．已知函數(shù)f（x）=mln（x+1）-nx在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，且$f'（2）=-\frac{1}{3}$，其中 m，n∈R．
（Ⅰ）求m，n的值，并求出f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）設g（x）=-x²+2x，確定非負實數(shù)a的取值范圍，使不等式f（x）+x≥ag（x）在[0，+∞）上恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到關于m，n的方程組，求出m，n的值，從而求出f（x）的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題可轉化為不等式2ln（x+1）-a（-x²+2x）≥0在[0，+∞）上恒成立時，確定非負實數(shù)a的取值范圍，記h（x）=2ln（x+1）-a（-x²+2x），根據(jù)函數(shù)的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）對f（x）求導，得$f'（x）=\frac{m}{x+1}-n$，
若f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直，
則$\frac{m}{2}-n=0$，又$f'（2）=-\frac{1}{3}$，則$\frac{m}{3}-n=-\frac{1}{3}$，
由$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{m}{2}-n=0}\\{\frac{m}{3}-n=-\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$，求得$\left\{{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=1}\end{array}}\right.$，
所以f（x）=2ln（x+1）-x，定義域為（-1，+∞），
對f（x）求導，得$f'（x）=\frac{2}{x+1}-1=\frac{1-x}{x+1}$，
由f'（x）＞0，求得-1＜x＜1，即f（x）的單調遞增區(qū)間為（-1，1）；
由f'（x）＜0，求得x＞1，即f（x）的單調遞減區(qū)間為（1，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，不等式f（x）+x≥ag（x）即是2ln（x+1）≥a（-x²+2x），
于是問題可轉化為不等式2ln（x+1）-a（-x²+2x）≥0在[0，+∞）上恒成立時，確定非負實數(shù)a的取值范圍，
記h（x）=2ln（x+1）-a（-x²+2x），則$h'（x）=\frac{2}{x+1}+2ax-2a=\frac{{2（{a{x^2}+1-a}）}}{x+1}$，
①當a=0時，對$?x≥0，h'（x）=\frac{2}{x+1}＞0$，則h（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
②當a＞0時，令h'（x）=0，則ax²+1-a=0，當1-a≥0，
即0＜a≤1時，對?x≥0，h'（x）＞0，則h（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，
所以h（x）=h（0）=0，此時命題成立；
當1-a＜0，即a＞1時，由ax²+1-a=0，
求得${x_1}=-\sqrt{\frac{a-1}{a}}（含），x2=\sqrt{\frac{a-1}{a}}＞0$．h（x），h'（x）的變化情況如表：

x	0	（0，x2）	x2	（x2，+∞）
h'（x）		-	0	+
h（x）		↘	極小值	↗

因為h（x）_min=h（x₂）＜h（0）=0，
所以當x≥0時，命題不成立．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，考查轉化思想，是一道綜合題．