Question

2．在△ABC中，若$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=8$，則△ABC的面積的最大值為（　�。�

• A． 8
• B． 16
• C． $10\sqrt{3}$
• D． $8\sqrt{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式和余弦定理，求出b²+c²=80，再利用基本不等式得出bc的最大值，寫出△ABC的面積，求其最大值即可．

解答 解：△ABC中，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}|=8$，
設(shè)A、B、C所對(duì)邊分別為a，b，c，
則c•b•cosA=a=8①；
所以△ABC的面積為：
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1{-cos}^{2}A}$=$\frac{1}{2}$bc$\sqrt{1-\frac{64}{{^{2}c}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{^{2}c}^{2}-64}$，
由余弦定理可得b²+c²-2bc•cosA=a²=64②，
由①②消掉cosA得b²+c²=80，
所以b²+c²≥2bc，
bc≤40，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2$\sqrt{10}$時(shí)取等號(hào)，
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{^{2}c}^{2}-64}$≤$\frac{1}{2}$$\sqrt{{40}^{2}-64}$=8$\sqrt{6}$，
所以△ABC面積的最大值為8$\sqrt{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、三角形面積公式以及基本不等式的應(yīng)用問題，是綜合題．