17.已知f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在x=±1時取得極值,且f(1)=-1.
(I)試求常數(shù)a、b、c的值;
(II)試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

分析 (Ⅰ)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù),可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn),再通過極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,即極值點(diǎn)必為f′(x)=0的根建立起由極值點(diǎn)x=±1所確定的相關(guān)等式,運(yùn)用待定系數(shù)法確定a、b、c的值.
(Ⅱ)求出f′(x)并分解因式討論x的取值決定f′(x)的正負(fù)研究函數(shù)的增減性即可.

解答 解:(Ⅰ)由f′(1)=f′(-1)=0,
得3a+2b+c=0,①,3a-2b+c=0,②,
又f(1)=-1,∴a+b+c=-1.③
由①②③解得a=$\frac{1}{2}$,b=0,c=-$\frac{3}{2}$.
(Ⅱ)f(x)=$\frac{1}{2}$x3-$\frac{3}{2}$x,
∴f′(x)=$\frac{3}{2}$x2-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$(x-1)(x+1),
當(dāng)x<-1或x>1時,f′(x)>0;
當(dāng)-1<x<1時,f′(x)<0;
故f(x)在(-∞,-1)遞增,在(-1,1)遞減,在(1,+∞)遞增.

點(diǎn)評 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力,以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力.

練習(xí)冊系列答案
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