Question

17．已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）在x=±1時(shí)取得極值，且f（1）=-1．
（I）試求常數(shù)a、b、c的值；
（II）試求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f′（x）=0的根建立起由極值點(diǎn)x=±1所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法確定a、b、c的值．
（Ⅱ）求出f′（x）并分解因式討論x的取值決定f′（x）的正負(fù)研究函數(shù)的增減性即可．

解答 解：（Ⅰ）由f′（1）=f′（-1）=0，
得3a+2b+c=0，①，3a-2b+c=0，②，
又f（1）=-1，∴a+b+c=-1．③
由①②③解得a=$\frac{1}{2}$，b=0，c=-$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）f（x）=$\frac{1}{2}$x³-$\frac{3}{2}$x，
∴f′（x）=$\frac{3}{2}$x²-$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$（x-1）（x+1），
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0；
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0；
故f（x）在（-∞，-1）遞增，在（-1，1）遞減，在（1，+∞）遞增．

點(diǎn)評(píng) 考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力．