Question

16．已知a，b，c＞0，求證$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{a^2}{c^2}}}{a+b+c}≥abc$．

Answer 1

分析 根據(jù)a²+b²≥2ab，兩邊再乘c²得出c²（a²+b²）≥2c²ab，同理得出其他兩式，將不等式相加化簡即可得出結(jié)論．

解答 證明：因為b²+c²≥2bc，a²＞0，
∴a²（b²+c²）≥2a²bc，
同理：b²（a²+c²）≥2b²ac，
c²（a²+b²）≥2c²ab，
以上三式相加得：2（a²b²+a²c²+b²c²）≥2a²bc+2b²ac+2c²ab，
∴a²b²+a²c²+b²c²≥abc（a+b+c），
∵a+b+c＞0，∴$\frac{{{a^2}{b^2}+{b^2}{c^2}+{a^2}{c^2}}}{a+b+c}≥abc$．

點評 本題考查了不等式的證明，屬于中檔題．