Question

15．已知偶函數f（x）是定義在{x∈R|x≠0}上的可導函數，其導函數為f'（x）．當x＜0時，$f'（x）＜\frac{f（x）}{x}$恒成立．設m＞1，記$a=\frac{4mf（m+1）}{m+1}$，$b=2\sqrt{m}f（2\sqrt{m}）$，$c=（m+1）f（\frac{4m}{m+1}）$，則a，b，c的大小關系為（　�。�

• A． a＜b＜c
• B． a＞b＞c
• C． b＜a＜c
• D． b＞a＞c

Answer 1

分析 構造函數g（x），求出g（x）的奇偶性和單調性，根據函數單調性的性質判斷a，b，c的大小即可．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$（x≠0），則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
因為當x＜0時f′（x）＜$\frac{f（x）}{x}$恒成立，
所以當x＜0時xf′（x）-f（x）＞0，
即當x＜0時g′（x）＞0，所以g（x）在（-∞，0）上單調遞增，
又因為f（-x）=f（x），
所以g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=-$\frac{f（x）}{x}$=-g（x），即g（x）是奇函數，
所以g（x）在（0，+∞）單調遞增，
又因為m+1＞2$\sqrt{m}$＞$\frac{4m}{m+1}$，
所以g（m+1）＞g（2$\sqrt{m}$）＞g（$\frac{4m}{m+1}$），
所以$\frac{f（m+1）}{m+1}$＞$\frac{f（2\sqrt{m}）}{2\sqrt{m}}$＞$\frac{f（\frac{4m}{m+1}）}{\frac{4m}{m+1}}$，即a＞b＞c，
故選：B．

點評 本題考查了函數的奇偶性和單調性問題，構造函數g（x）是解題的關鍵，本題是一道中檔題．