Question

【題目】如圖,在矩形中, , 為的中點(diǎn), 為的中點(diǎn).將沿折起到,使得平面平面（如圖）.

圖1 圖2

（Ⅰ）求證: ；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得,由平面平面可得平面,從而可得；（Ⅱ）取中點(diǎn)為,連結(jié)，由矩形性質(zhì), ,可知，由（Ⅰ）可知, ，以為原點(diǎn), 為軸, 為軸, 為軸建立坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量及直線的方向向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果；（Ⅲ）假設(shè)在線段上存在點(diǎn),滿足平面，設(shè)，利用直線與平面的法向量垂直，數(shù)量積為零，列方程求解即可.

.

試題解析：（Ⅰ）如圖,在矩形中,

, 為中點(diǎn), ,

為的中點(diǎn),

由題意可知, ,

平面平面

圖1 圖2

平面平面,平面，

平面，

平面,

，

（Ⅱ）取中點(diǎn)為,連結(jié)，

由矩形性質(zhì), ,可知，

由（Ⅰ）可知, ，

以為原點(diǎn), 為軸, 為軸, 為軸建立坐標(biāo)系，

在中,由,則,

所以

,,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則,令,則，

所以，

設(shè)直線與平面所成角為，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（Ⅲ）假設(shè)在線段上存在點(diǎn),滿足平面

設(shè)，

由,,所以，

,，

若平面,則，

所以,解得，

所以.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)以及利用空間向量求線面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.