Question

11．已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{x+y≥2}\\{2x-y≥2}\end{array}\right.$，則$\frac{y+x}{y+2x}$的取值范圍是（　�。�

• A． [0，1]
• B． [$\frac{1}{3}$，1]
• C． [$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，求出$\frac{y}{x}$的范圍，把$\frac{y+x}{y+2x}$化為$\frac{1+\frac{y}{x}}{1+\frac{y}{x}}$求解．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{x+y≥2}\\{2x-y≥2}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

令t=$\frac{y}{x}$，則t的最小值為0，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{2x-y=2}\end{array}\right.$，解得B（2，2），∴t的最大值為1，
∴$\frac{y+x}{y+2x}$=$\frac{1+\frac{y}{x}}{2+\frac{y}{x}}=\frac{1+t}{2+t}$=$\frac{2+t-1}{2+t}=1-\frac{1}{2+t}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{3}$]．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用分式的性質(zhì)以及換元法是解決本題的關(guān)鍵．注意數(shù)形結(jié)合，是中檔題．