Question

16．在矩形ABCD中，將△ABC沿其對角線AC折起來得到△AB₁C，且頂點B₁在平面ACD上的射影O恰好落在邊AD上（如圖所示）．
（Ⅰ）證明：AB₁⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）若AB=1，BC=$\sqrt{3}$，求三棱錐B₁-ABC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線面垂直的判定證明AB₁⊥CD，又AB₁⊥B₁C，且B₁C∩CD=C，可得AB₁⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）根據(jù)體積公式，由已知求得△ABC的面積，而高即為B₁O，又易證△AB₁D為直角△，則斜邊AD上的高B₁O可求，則三棱錐B₁-ABC的體積可求．

解答 （Ⅰ）證明：如圖，
∵ABCD是矩形，∴AB⊥BC，則AB₁⊥B₁C，
在三棱錐B₁-ACD中，∵B₁O⊥面ACD，∴B₁O⊥CD，
又CD⊥AD，且AD∩B₁O=O，∴CD⊥平面AB₁O，則CD⊥AB₁，
又B₁C∩CD=C，∴AB₁⊥平面B₁CD；
（Ⅱ）解：由于AB₁⊥平面B₁CD，B₁D?平面ABCD，
∴AB₁⊥B₁D，在Rt△AB₁D中，${B}_{1}D=\sqrt{A{D}^{2}-A{{B}_{1}}^{2}}=\sqrt{2}$，
又由B₁O•AD=AB₁•B₁D，得${B}_{1}O=\frac{A{B}_{1}•{B}_{1}D}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴${V}_{{B}_{1}-ABC}=\frac{1}{3}$S_△ABC•B₁O=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

點評 本題考查線面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．