Question

2．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F．
證明：（1）PA∥平面EDB；
（2）PB⊥平面EFD；
（3）點F到平面BDE的距離．

Answer 1

分析 （1）由題意連接AC，AC交BD于O，連接EO，則EO是中位線，證出PA∥EO，由線面平行的判定定理知PA∥平面EDB；
（2）由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC，再由DC⊥BC證出BC⊥平面PDC，即得BC⊥DE，再由ABCD是正方形證出DE⊥平面PBC，則有DE⊥PB，再由條件證出PB⊥平面EFD；
（3）通過求解三角形可得BE、BF、EF的長度，然后利用等積法求點F到平面BDE的距離．

解答 （1）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO．
∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點．
∴在△PAC中，EO是中位線，得PA∥EO，
∵EO?平面EDB，且PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB；
（2）證明：∵PD⊥底面ABCD，且DC?底面ABCD，∴PD⊥BC．
∵底面ABCD是正方形，∴DC⊥BC，
∴BC⊥平面PDC．
∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE．
又∵PD=DC，E是PC的中點，∴DE⊥PC，則DE⊥平面PBC．
∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB．
又∵EF⊥PB，且DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD；
（3）∵PD=DC=2，PC=2$\sqrt{2}$，PB=2$\sqrt{3}$，PE=$\sqrt{2}$，
∵$\frac{EF}{PE}=\frac{BC}{PB}$，∴EF=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，PF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，F(xiàn)B=2$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
DE=$\sqrt{2}$，BD=2$\sqrt{2}$，BE=$\sqrt{D{B}^{2}-D{E}^{2}}=\sqrt{6}$．
設(shè)點F到平面BDE的距離為h，
由V_B-EFD=V_D-BEF，得$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×EF×BF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×DE×BE×h$，
∴h=$\frac{EF×BF}{BE}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題主要考查線面平行和線面垂直的判定，要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．