Question

7．已知函數(shù)f（x）=x²-4x+3．
（1）求f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值；
（2）在給出的直角坐標系中，作出函數(shù)g（x）=f（|x|）的圖象，并根據(jù)圖象寫出其單調(diào)減區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的方程f（|x|）-a=x至少有三個不相等的實根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）配方，分類討論，即可求f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值；
（2）根據(jù)解析式，作出函數(shù)f（|x|）的圖象，根據(jù)從左到右下降對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；
（3）線y=x+a與y=x²+4x+3相切時，a=$\frac{3}{4}$，直線過（0，3）時，a=3，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
m＜2，∴x=m時，f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值為m²-4m+3；
m≥2，∴x=2時，f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值為-1；
∴f（x）在區(qū)間[0，m]上的最小值為$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-4m+3，m＜2}\\{-1，m≥2}\end{array}\right.$；
（2）函數(shù)f（|x|）=x²-4|x|+3的圖象如圖所示  

函數(shù)f（|x|）=x²-4|x|+3的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-2）和（0，2）；
（3）直線y=x+a與y=x²+4x+3相切時，a=$\frac{3}{4}$，
直線過（0，3）時，a=3，
∵關(guān)于x的方程f（|x|）-a=x至少有三個不相等的實根，∴$\frac{3}{4}$≤a≤3．

點評 此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象的應(yīng)用，是一道中檔題，根據(jù)二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，畫出函數(shù)的圖象是解答的關(guān)鍵．