Question

9．已知函數(shù)f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{5π}{8}$，0）對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，則ω的值為$\frac{2}{5}$．

Answer 1

分析 利用正弦函數(shù)的奇偶性求得φ的值，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，求得ω的值．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=sin（2ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，
∴φ=$\frac{π}{2}$，f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{2}$）=cos2ωx．
∵其圖象關(guān)于點(diǎn)M（$\frac{5π}{8}$，0）對(duì)稱(chēng)，∴2ω$•\frac{5π}{8}$=kπ+$\frac{π}{2}$，∴ω=$\frac{4}{5}$k+$\frac{2}{5}$，k∈Z．
根據(jù)f（x）在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上是單調(diào)函數(shù)，∴2ω•$\frac{π}{2}$≤π，∴ω≤1，∴ω=$\frac{2}{5}$，
故答案為：$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的奇偶性、余弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．