Question

9．如圖2，“六芒星”是由兩個(gè)全等正三角形組成，中心重合于點(diǎn)O且三組對(duì)邊分別平行．點(diǎn)A，B是“六芒星”（如圖1）的兩個(gè)頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在“六芒星”上（內(nèi)部以及邊界），若$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，則x+y的取值范圍是（　�。�

• A． [-4，4]
• B． $[{-\sqrt{21}，\sqrt{21}}]$
• C． [-5，5]
• D． [-6，6]

Answer 1

分析 根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，得出求x+y的最大值時(shí)﹐只需考慮圖中6個(gè)頂點(diǎn)的向量即可，分別求出即得結(jié)論．根據(jù)其對(duì)稱性，可知x+y的最小值

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$﹐$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow$﹐求x+y的最大值﹐只需考慮右圖中6個(gè)頂點(diǎn)的向量即可，討論如下﹔
（1）∵$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（1，0）；
（2）∵$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow$+3$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（3，1）；
（3）∵$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FC}$=$\overrightarrow$+2$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（2，1）； 
（4）∵$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FE}$+$\overrightarrow{ED}$=$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$+（$\overrightarrow$+2$\overrightarrow{a}$）=3$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow$，∴（x，y）=（3，2）； 
（5）∵$\overrightarrow{OE}$=$\overrightarrow{OF}$+$\overrightarrow{FE}$=$\overrightarrow$+$\overrightarrow{a}$﹐∴（x，y）=（1，1）； 
（6）∵$\overrightarrow{OF}$=$\overrightarrow$﹐∴（x，y）=（0，1）﹒
∴x+y的最大值為3+2=5﹒
根據(jù)其對(duì)稱性，可知x+y的最小值為-5﹒
故x+y的取值范圍是[-5，5]，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的加法運(yùn)算及其幾何意義問題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)題意，畫出圖形，結(jié)合圖形解答問題．